まず、一番目の「派遣社員でも、退職できますか」というご質問についてご回答をさせて頂きます。

派遣社員の中には、ほかのコラムでも解説しておりますが、「期間の定めのある雇用契約」か、それとも、「期間の定めのない雇用契約」とであるかで第１段目のご回答が変わってきます。
雇用の定めのない雇用契約は、通常、何月何日から何月何日までの期間の定めのない契約で、正社員の形が多いです。
その際、雇用契約の定めのない雇用契約の場合には、正社員と同様に、退職にあたっては、民法６２７条１項によれば、１４日経過後には退職ができますので、退職自体は、あまり問題となりません。言い換えると、１４日経過後には、退職ができます。退職自体はあまり心配となることもありません。
その一方で、「期間の定めのある雇用契約」の場合には、契約期間の途中で退職は原則とできません。

「参考条文
民法６２７条１項
当事者が雇用の期間を定めなかったときは、各当事者は、いつでも解約の申入れをすることができる。この場合において、雇用は、解約の申入れの日から2週間を経過することによって終了する。」

その上で、契約期間の途中での退職は、「やむを得ない理由」が必要となります。
やむを得ない理由の具体例としましては、「体調不良」「親御さんの介護」などがあたります（民法６２８条１項）

ご依頼者のほとんどケースでは、「体調不良」のケースが多いです。
ここまででまとめますと、派遣社員の場合で、契約期間のある場合には、原則として、「やむを得ない理由」が必要となりますので、退職自体で揉めた場合には、「体調不良」等の理由が必要となります。余談となりますが、「やむを得ない理由」による退職は「契約社員」の場合でも同様となります。
ご依頼にあたりましては、雇用契約があるか、ないかによってアドバイスは変わりますので、雇用条件明示書件雇入通知書（雇用契約書）を事前にご確認頂けると幸いでございます。

「参照条文
民法６２８条１項
当事者が雇用の期間を定めた場合であっても、やむを得ない事由があるときは、各当事者は、直ちに契約の解除をすることができる。この場合において、その事由が当事者の一方の過失によって生じたものであるときは、相手方に対して損害賠償の責任を負う。」

次に、「派遣社員が退職する場合には、損害賠償が発生するか」というご質問についてご回答をさせて頂きたいと考えております。
まず、損害賠償が発生するケースについて、ご説明させて頂きます。
損賠賠償が発生するのは、雇用契約に債務不履行があった場合になります。例えば、引継ぎ不十分であったケースや無断欠勤があった場合などが考えられます。
その際、「退職したことで会社の売り上げが下がった場合には、損賠賠償が発生しますか」というご質問を頂くことが多いです。
法律的にご回答をすると、退職と売り上げが低下したこととの間に、因果関係が認められないと考えます。

一般常識的に回答すれば、人の不足は経営上（経営者）の問題であって、退職者の責任として問われるのは筋違いだと思います。
ですから、「退職したことで会社の売り上げが下がった場合でも、損害賠償責任は発生しない」と考えます。私の経験から話をするとそれほど心配はしなくて良いかと思います。